Teorija

8. Tjedan:

• Derivacije

---

1. Uvod u derivacije

1.1. Povijesni pregled i značaj derivacija

Pojam derivacije razvijen je u 17. stoljeću, ponajviše zahvaljujući radovima Isaaca Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza, koji su ujedno stvorili i temelje za diferencijalni i integralni račun. U to vrijeme njihova primjena pomogla je u rješavanju problema gibanja planeta, izračuna brzine i akceleracije, a danas su derivacije i diferencijalni račun općenito nezaobilazni u gotovo svim područjima prirodoslovlja, tehnike i društvenih znanosti.

• Newton je derivacije promatrao kroz fizikalni kontekst brzine i akceleracije.
• Leibniz je razvijao simboličke zapise derivacija i integrala koje koriste matematičari diljem svijeta.

1.2. Definicija derivacije funkcije

Neka je $f$ funkcija realne varijable $x$. Derivacija funkcije $f$ u točki $x$ definirana je kao granična vrijednost omjera promjene funkcije i promjene argumenta, kada se ta promjena argumenta teži nuli:

$$f'(x) \;=\; \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}.$$

Ako ta granica postoji, kažemo da je $f$ derivabilna u točki $x$, a vrijednost $f'(x)$ zovemo derivacijom funkcije $f$ u točki $x$.

1.3. Geometrijsko značenje derivacije

Geometrijski, derivacija $f'(x)$ predstavlja nagib (koeficijent smjera) tangente na graf funkcije $f$ u točki $x$. Ako nacrtate graf funkcije $f(x)$, derivacija vam govori koliko je taj graf “strm” u nekoj točki i opisuje brzinu promjene funkcije.

---

2. Pravila deriviranja

2.1. Osnovna pravila deriviranja

1. Derivacija konstante: Ako je $f(x) = c$ (gdje je $c$ konstanta), tada je

   $$f'(x) = 0.$$

2. Derivacija potencije: Ako je $f(x) = x^n$, tada je

   $$f'(x) = n \cdot x^{n-1}.$$

3. Linearna kombinacija: Ako su $f$ i $g$ derivabilne, te $a, b$ konstante, tada je

   $$(a f(x) + b g(x))' = a f'(x) + b g'(x).$$

4. Umnožak (Produktna formula): Ako su $f$ i $g$ derivabilne, tada je

   $$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).$$

5. Kvocijent (Quotientna formula): Ako su $f$ i $g$ derivabilne, te $g(x) \neq 0$, tada je

   $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}.$$

2.2. Derivacija složenih funkcija

Ako je dana složena (kompozitna) funkcija $h(x) = f(g(x))$, pravilo lanca (chain rule) kaže:

$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$

Primjer:
Neka je $h(x) = \sin(x^2)$. Ovdje možemo prepoznati:

• Vanjsku funkciju $f(u) = \sin(u)$,
• Unutarnju funkciju $g(x) = x^2$.

Prema pravilu lanca:

$$h'(x) = \frac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot \cos(x^2).$$

2.3. Derivacije osnovnih elementarnih funkcija

• Exponencijalna funkcija: $(e^x)' = e^x$.
• Opća eksponencijalna funkcija: $(a^x)' = a^x \ln(a)$, za $a>0$.
• Logaritam: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
• Trigonometrijske funkcije:
  • $(\sin x)' = \cos x$
  • $(\cos x)' = -\sin x$
  • $(\tan x)' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$
  • $(\cot x)' = -\csc^2 x$
  • $(\sec x)' = \sec x \tan x$
  • $(\csc x)' = -\csc x \cot x$

2.4. Logaritamsko deriviranje

Logaritamsko deriviranje korisno je kada je funkcija zadana kao umnožak više faktora, potencija ili komplikacija. Postupak je sljedeći:

1. Uzimamo prirodni logaritam s obje strane: $\ln(f(x)) = \ln(\dots)$.
2. Deriviramo implicitno.
3. Rješavamo izraz za $f'(x)$.

Primjer:
Neka je $f(x) = x^2 \cdot (3x + 1)^4 \cdot e^{x^2}.$ Logaritmirajmo obje strane:

$$\ln(f(x)) = \ln\bigl(x^2 (3x+1)^4 e^{x^2}\bigr) = \ln(x^2) + \ln\bigl((3x+1)^4\bigr) + \ln\bigl(e^{x^2}\bigr).$$$$= 2 \ln x + 4 \ln(3x+1) + x^2.$$

Deriviramo:

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}\bigl(2 \ln x + 4 \ln(3x+1) + x^2\bigr) = \frac{2}{x} + 4 \cdot \frac{3}{3x+1} + 2x.$$$$= \frac{2}{x} + \frac{12}{3x+1} + 2x.$$

Naposljetku,

$$f'(x) = f(x) \cdot \left( \frac{2}{x} + \frac{12}{3x+1} + 2x \right).$$

A kako je $f(x) = x^2 (3x+1)^4 e^{x^2}$, dobijemo

$$f'(x) = x^2 (3x+1)^4 e^{x^2} \left( \frac{2}{x} + \frac{12}{3x+1} + 2x \right).$$

2.5. Derivacije implicitno zadanih funkcija

Ako je funkcija zadana implicitno jednadžbom $F(x,y) = 0$, tada deriviramo obje strane jednadžbe po $x$, vodeći računa o tome da je $y$ funkcija od $x$. Tada vrijedi:

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}},$$

pod uvjetom da je $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$.

Primjer:
Jednadžba kružnice polumjera 1: $x^2 + y^2 = 1$. Deriviramo po $x$:

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

---

3. Tangenta i normala

3.1. Tangenta: definicija i geometrijsko značenje

Tangenta na graf funkcije $f(x)$ u točki $x_0$ je pravac koji “dodiruje” graf u toj točki i ima isti nagib kao i graf funkcije. Derivacija $f'(x_0)$ upravo je koeficijent smjera tog pravca.

3.2. Jednadžba tangente

Ako je $y = f(x)$, a $f'(x_0)$ postoji, jednadžba tangente u točki $(x_0, f(x_0))$ glasi:

$$y - f(x_0) = f'(x_0) \bigl(x - x_0\bigr).$$

Primjer:
Za $f(x) = x^2$, pronađimo tangentu u točki $x_0 = 1$.

• $f(1) = 1^2 = 1$
• $f'(x) = 2x \implies f'(1) = 2$

Jednadžba tangente je:

$$y - 1 = 2 \bigl(x - 1\bigr) \quad \Longrightarrow \quad y = 2x - 1.$$

3.3. Normala: definicija i jednadžba

Normala na graf funkcije u točki $(x_0, f(x_0))$ je pravac okomit na tangentu. Ako je nagib tangente $f'(x_0)$, tada je nagib normale:

$$m_\text{normale} = -\frac{1}{f'(x_0)},$$

pod uvjetom da $f'(x_0) \neq 0$.

Jednadžba normale potom glasi:

$$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)} \bigl(x - x_0\bigr).$$

3.4. Primjeri primjene tangente i normale

• Optika: Kut upadnog svjetlosnog zraka i kut refleksije računaju se preko tangente površine.
• Geometrija krivulja: Duljina i putanja kretanja točke na krivulji također se mogu analizirati pomoću tangenti i normala.

---

4. Diferencijal i aproksimacija

4.1. Definicija diferencijala

Za derivabilnu funkciju $y = f(x)$, diferencijal $dy$ definira se kao:

$$dy = f'(x)\,dx.$$

Ovdje je $dx$ mala promjena u $x$, a $dy$ približna (linearna) promjena u $y$.

4.2. Približno računanje pomoću diferencijala

Diferencijal se često koristi za aproksimaciju vrijednosti funkcije kada je pomak $dx$ malen:

$$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \, \Delta x.$$

Ovo se naziva linearna aproksimacija ili tangentna aproksimacija.

4.3. Linearna aproksimacija funkcija

Linearizacija funkcije $f$ oko točke $x_0$ glasi:

$$L(x) = f(x_0) + f'(x_0) \, (x - x_0).$$

To je jednadžba tangente u točki $x_0$, a služi za brzu procjenu vrijednosti $f(x)$ blizu $x_0$.

4.4. Primjene diferencijala u inženjerskim problemima

• Procjena pogreške mjerenja: Ako veličina $f$ ovisi o mjerljivoj veličini $x$, tada je diferencijal $df \approx f'(x) dx$ aproksimacija promjene u $f$ uzrokovane malom pogreškom u $x$.
• Optimizacija tolerancija: U konstrukciji ili elektronici, diferencijali pomažu pri određivanju kolike smiju biti odstupanja ulaznih parametara da bi uređaj i dalje normalno funkcionirao.

---

5. Višestruke derivacije i diferencijali

5.1. Druga i višeg reda derivacije

• Druga derivacija $f''(x)$ je derivacija prve derivacije $f'(x)$. Ona opisuje brzinu promjene brzine promjene originalne funkcije.
• Višeg reda derivacije se mogu nastaviti (treća, četvrta, ...) ako funkcija ostaje dovoljno “glatka”.

Primjer:
Ako je $f(x) = x^3$, onda je:

$$f'(x) = 3x^2, \quad f''(x) = 6x, \quad f'''(x) = 6.$$

5.2. Primjene višestrukih derivacija

• Fizika: Druga derivacija položaja $\frac{d^2s}{dt^2}$ daje akceleraciju, treća derivacija može opisati “ubrzanje akceleracije” (tzv. “jolt”).
• Analiza krivulja: Druga derivacija daje informacije o zakrivljenosti i konveksnosti funkcije.

5.3. Višestruki diferencijali

Za drugi diferencijal vrijedi:

$$d^2y = d(dy) = d(f'(x)\,dx).$$

Iako ima svoju formalnu definiciju, u praksi se više koriste druge derivacije nego sam $d^2y$.

---

6. Teoremi diferencijalnog računa

6.1. Fermatov teorem

Fermatov teorem kaže da ako funkcija $f$ ima lokalni ekstrem (maksimum ili minimum) u točki $x_0$ te je derivabilna u toj točki, tada je

$$f'(x_0) = 0.$$

6.2. Rolleov teorem

Rolleov teorem: Neka je $f$ kontinuirana na segmentu $[a,b]$ i derivabilna na otvorenom intervalu $(a,b)$. Ako je $f(a) = f(b)$, tada postoji barem jedna točka $c \in (a,b)$ takva da je

$$f'(c) = 0.$$

6.3. Lagrangeov teorem srednje vrijednosti

Lagrangeov teorem srednje vrijednosti (MVT) generalizira Rolleov teorem. Ako je $f$ kontinuirana na $[a,b]$ i derivabilna na $(a,b)$, tada postoji točka $c \in (a,b)$ takva da

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

6.4. Cauchyjev teorem srednje vrijednosti

Cauchyjev teorem je još općenitija verzija. Za dvije funkcije $f$ i $g$, koje su kontinuirane na $[a,b]$ i derivabilne na $(a,b)$, te za koje $g'(x) \neq 0$ na $(a,b)$, postoji točka $c \in (a,b)$ takva da

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.$$

---

7. Primjene derivacija

7.1. Optimizacija i pronalaženje ekstrema funkcija

• Lokalni ekstremi (lokalni minimumi/maksimumi) traže se rješavanjem jednadžbe $f'(x) = 0$.
• Druga derivacija pomaže u određivanju prirode ekstrema:
  • Ako je $f''(x_0) > 0$, tada je $x_0$ lokalni minimum.
  • Ako je $f''(x_0) < 0$, tada je $x_0$ lokalni maksimum.

Primjer:
Neka je $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$. Tražimo ekstremne vrijednosti:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1).$$

Nule su $x = 3$ i $x = -1$. Analizom druge derivacije:

$$f''(x) = 6x - 6.$$$$f''(3) = 18 - 6 = 12 > 0 \quad \Longrightarrow \text{lokalni minimum u } x=3,$$$$f''(-1) = -6 - 6 = -12 < 0 \quad \Longrightarrow \text{lokalni maksimum u } x=-1.$$

7.2. Analiza zakrivljenosti i infleksijske točke

• Zakrivljenost (konkavnost i konveksnost) određuje se drugom derivacijom:
  • Ako je $f''(x) > 0$, graf je konveksan (nasmiješena parabola).
  • Ako je $f''(x) < 0$, graf je konkavan (namrgođena parabola).
• Infleksijska točka je točka gdje se funkcija “lomi” iz konveksne u konkavnu (ili obratno). Najčešće se događa kad je $f''(x) = 0$ (uz neke dodatne uvjete).

7.3. Ekonomija: marginalni troškovi i prihodi

U ekonomiji, ako je $C(x)$ funkcija ukupnog troška proizvodnje $x$ proizvoda, onda je marginalni trošak definiran kao derivacija $C'(x)$. Ona govori koliko će se trošak promijeniti kada se proizvede jedna jedinica više.

Primjer:
Ako je $C(x) = 1000 + 20x - 0.02x^2$, tada je

$$C'(x) = 20 - 0.04x.$$

Marginalni trošak je dakle linearan i smanjuje se s povećanjem $x$.

7.4. Fizika: brzina i ubrzanje

U fizici, ako je $s(t)$ položaj tijela u trenutku $t$:

• Brzina: $v(t) = s'(t)$.
• Ubrzanje: $a(t) = s''(t)$.

Primjer:
Neka je $s(t) = 5t^2 + 10t + 1$ (mjerna jedinica npr. u metrima, a $t$ u sekundama).

• $v(t) = 10t + 10$
• $a(t) = 10$

Tijelo se giba s linearnim rastom brzine (kad ne uračunavamo vanjske sile osim one koja ubrzava konstantno 10 m/s$^2$).

Vježbe

zadaci

Ispit

Kako se definira derivacija funkcije $f$ u točki $x$?

$f'(x) = f(x + 1) - f(x)$

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

$f'(x) = \frac{f(x)}{x}$

$f'(x) = f(x) \cdot x$

Tko je razvio simboličke zapise derivacija i integrala koje se danas koriste u matematici?

Isaac Newton

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leonhard Euler

Carl Friedrich Gauss

Koje pravilo deriviranja koristimo za deriviranje složenih funkcija poput $f(g(x))$?

Produktno pravilo

Kvocijentno pravilo

Pravilo lanca (chain rule)

Logaritamsko pravilo

Koja je derivacija funkcije $f(x) = e^{2x}$?

$f'(x) = 2e^{2x}$

$f'(x) = e^{2x}$

$f'(x) = 2x e^{2x}$

$f'(x) = e^{x}$

Što geometrijski predstavlja derivacija $f'(x)$ funkcije $f$ u točki $x$?

Visinu funkcije u točki $x$

Nagib tangente na graf funkcije u točki $x$

Površinu ispod grafa funkcije do točke $x$

Točku presjeka tangente s y-osi

Koja je jednadžba tangente na graf funkcije $f(x)$ u točki $x = x_0$?

$y = f(x_0)$

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

$y = f'(x_0)x + f(x_0)$

$y = f(x) + f'(x_0)(x - x_0)$

Kako se definira diferencijal $dy$ funkcije $y = f(x)$?

$dy = f(x) dx$

$dy = f'(x) dx$

$dy = \frac{dx}{f'(x)}$

$dy = f'(x)^2 dx$

Što kaže Fermatov teorem o lokalnim eksterma funkcije?

Ako funkcija ima lokalni ekstrem u točki, funkcija nije derivabilna u toj točki

Ako funkcija ima lokalni ekstrem u točki, prvi derivat u toj točki je nula

Funkcija nema lokalne ekstreme

Druga derivacija funkcije je pozitivna u točki ekstrema

Kako se koriste derivacije za pronalaženje lokalnih ekstrema funkcije?

Traže se točke gdje je funkcija jednaka nuli

Traže se točke gdje je derivacija pozitivna

Traže se točke gdje je derivacija jednaka nuli

Traže se točke gdje je druga derivacija negativna

Ako je položaj tijela opisan funkcijom $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$, koja je funkcija brzine tijela?

$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$

$v(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$

$v(t) = 6t - 12$

$v(t) = 3t^2 - 6t + 9$